4つの数字と四則演算で10を作る遊びで10ができない確率

電車の切符の通し番号や自動車のナンバープレートの4つの(1桁の)数字を+, -, ×, ÷と組み合わせて10にする遊びがある。この遊びは、ちゃんと10ができる(解がある)ときとできない(解がない)ときがあるけど、そいつらはどういう比率で存在しているんだろうか?

と思って、調べてみた。解析的には解けないので、プログラムを書いてブルドーザー式に全探索する。この確率は数え方の違いで2通り考えられる気がする。ひとつは0000~9999までの1万通りを全体とするとき。もうひとつは1234と1243を区別しないようなとき。

10ができないのは、前者で数えると

  • 1813通り / 10000通り = 0.1813

後者で数えると

  • 161通り / 715通り = 0.225

だった。結構少ないな。前者は切符の通し番号などで遊ぶときに実際に遭遇する確率だけど、後者にどういう意味があるのかはいまいちわからない。

この715って数を計算で出したいときはどうすればいいんだろう?プログラムで書くなら
n = 0;
for(a = 0; a < 10; a++){ for(b = 0; b <= a; b++){ for(c = 0; c <= b; c++){ for(d = 0; d <= c; d++){ n++; } } } }[/sourcecode] とすればいい。

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