長三度を13.7セント下げる訳

長三度は純正律から見て13.7セント下げるというのはよく知られてるけども、「なぜ13.7セントなのか」はあまり知られてないように思う。みんな知ってるけど言わないだけなのかな?とにかく、高校数学/物理で説明できるので説明してみる。

まず、ある周波数 fr を持つ根音に対して、その長三度音の周波数は純正律では

5 / 4 * fr = 1.25 fr

になる。それに対して、平均律での周波数は

2 ^ (4 / 12) * fr = 1.25992105 fr

になる。

その差(というよりも商)は 1.25 / 1.25992105 = 0.992125657 倍。これが d セントに相当するとして、

2 ^ (d / 1200) = 0.992125657
d = log2(0.992125657) * 1200 = -13.686287

とまあ、こういうわけ。ついでに完全五度は2セント上げろというけれど(いわないけど)これは下の計算で。

log2((3 / 2) / (2 ^ (7 / 12))) * 1200 = 1.95500087

さらについでに完全四度は

log2((4 / 3) / (2 ^ (5 / 12))) * 1200 = -1.95500087

…絶対値が一緒になるのか(知らなかった)。2セント下げよう(無理だけど)。一緒になるのは、 |7 + 12| = |5 – 24| に由来してることを確認したけど、詳細は省く。

ところで話は変わって…。2つの音程の差は周波数のによって決まるのに対して、音程のズレ(うなり)は周波数のによって決まる。つまり、トランペットが442Hzでチューニングするとき、4セントずれると

442 * 2 ^ (4 / 1200) – 442 = 1.02241753

約1Hzのうなりが聞こえる。これはかなり目立つうなりで、実際は1~2セント以下に納めないとうなりは消えない感じ。それに対してチューバが110.5Hzでチューニングするとき、同じく4セントずれると

110.5 * 2 ^ (4 / 1200) – 110.5 = 0.255604384

つまり、チューバは音程を合わせるのがトランペットの4倍簡単だということがわかる。なにが言いたいかというと、チューバ吹いててトランペットやフルートに音程のズレをえらそうに指摘すんなってこと。トロンボーンも2倍簡単な上にスライド付きだからできれば黙っててほしい。

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